quarta-feira, 24 de outubro de 2012

As 40 questões de geometria espacial a seguir falam de prismas, cubos, paralelepípedos, pirâmides, cones, trocos e esferas.

São assuntos fundamentais para a maioria dos vestibulares, resolva, pergunte, responda, use os comentários.

Bons Estudos!!!

1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:

Resolução:

2) Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base é um losango cujas diagonais medem 7m e 10m.

Resolução:

3) Petróleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989

Da redação

O primeiro – e mais grave – acidente ecológico ocorrido no Alasca foi provocado pelo vazamento de 42 milhões de litros de petróleo do navio tanque Exxon Valdez, no dia 24 de março de 1989. O petroleiro começou a vazar após chocar-se com recifes na baia Principe Willian. Uma semana depois , 1300km² da superfície do mar já estavam cobertos de petróleo.

Supondo que o petróleo derramada se espalhasse uniformemente nos 1300km² da superfície do mar, a espessura da camada de óleo teria aproximadamente:

Resolução:

4) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?

Resolução:

5) Diminuindo-se de 1 unidade de comprimento a aresta de um cubo, o seu volume diminui 61 unidades de volume. A área total desse cubo, em unidades de área é igual a:

Resolução:

6) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% cada uma, então seu volume fica aumentado em:

Resolução:

7) Uma caixa d´água tem forma cúbica com 1metro de aresta. De quanto baixa o nível da água ao retirarmos 1 litro de água da caixa?

Resolução:

8 ) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem:

Resolução:

9) O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m³. Calcular as arestas sabendo que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5.

Resolução:

10) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do individuo , em litros, é:

Resolução:

11) Se o apótema de uma pirâmide mede 17m e o apótema da base mede 8m, qual é a altura da pirâmide?

Resolução:

12) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.

Resolução:

13) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

Resolução:

14) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:

Resolução:

15) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. A altura mede:

Resolução:

16) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

Resolução:

17) As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares são, respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual o volume do cilindro?

Resolução:

18) Uma fábrica de tintas está estudando novas embalagens para o seu produto, comercializado em latas cilíndricas cuja circunferência mede 10π cm. As latas serão distribuídas em caixas de papelão ondulado, dispostas verticalmente sobre a base da caixa, numa única camada. Numa caixa de base retangular medindo 25cm por 45cm, quantas latas caberiam?

Resolução:

19) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6cm desse eixo, apresenta secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

Resolução:

20) Um retângulo girando em torno de cada um dos seus lados gera dois sólidos, cujos volumes medem 360π m³ e 600π m³. Calcular a medida dos lados do retângulo.

Resolução:

21) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8πcm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:

22) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um circulo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

23) Ao se girar um triangulo retângulo de lados 3m, 4m e 5m em torno da hipotenusa, obtém-se um sólido cujo volume, em m³, é igual a:

24) Um copinho de sorvete em forma de cone tem diâmetro igual a 5cm e altura igual a 15cm. A empresa fabricante diminuiu o diâmetro para 4cm, mantendo a mesma altura. Em quantos por cento variou o volume?

25) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 21dm³ de volume. A altura do tronco mede 30cm e o lado do quadrado da base maior, 40cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede:

26) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:

27) Um copo de chope é um cone(oco), cuja altura é o dobro do diâmetro da base. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida ficar exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é:

28) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de 12cm. O volume do copo é de, aproximadamente:

29) O raio de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 4cm, então a razão entre o volume do cone e o da pirâmide é:

30) Considere um triangulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10cm e CA = 12cm. A rotação desse triangulo em torno de um eixo que contém o lado AC gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é:

31) O volume de uma esfera cresce 72,8% quando o raio dessa esfera aumenta:

32) A intersecção de um plano com uma esfera é um circulo de 16πdm² de área. Sabendo-se que o plano dista 3dm do centro da esfera, o volume da esfera é:

33) Um cálice com a forma de um cone mantém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de forma esférica, com diâmetro 2cm, é colocada dentro do cálice, supondo que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice, e o liquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

34) Um fuso esférico, cujo ângulo equatorial mede π/3 rad faz parte de uma superfície esférica de 12cm de raio. A área desse fuso esférico, em cm², é igual a:

35) O volume de uma esfera inscrita num cubo cuja aresta mede 6cm é:

36) Um cubo está inscrito uma esfera de raio R. Sua área total é:

37) Em um cilindro reto, de 4m de altura e 0,5m de raio, foi inscrito um prisma quadrangular regular. Qual a razão entre os volumes?

38) Um cilindro está inscrito em um cubo cuja diagonal mede 20cm. Calcule a área lateral do cilindro.

39) No retângulo ABCD, temos AB = 5cm e BC = 2cm. Calcular a área total do sólido gerado pela revolução de 360° da região do retângulo ABCD em torno do eixo e paralelo ao lado AB e distante 1cm de AB como mostra a figura.

40) Calcule a área e o volume gerados pela rotação da figura dada em torno do eixo XY.

GABARITOS:

1) 16√3

2) 210.000litros

3) 0,032mm

4) 2√2

5) 150

6) 72,8%

7) 1mm

8 ) 3,5,7

9) 9,12, 5

10) 72

11) 15m

12) 260cm²

13) 1440cm²

14) 64√2 m²

15) √2

16) 3√7

17) 250π

18) 08

19) 625π²

20) 6m e 10m

21) 64π

22) 288°

23)48π/5

24) diminui 36%

25) 10

26) 100

27) 1/8

28) 385cm³

29) π

30) 256π

31) 20%

32) 500π/3

33) 4π/3

34) 96π

35) 36π

36) 8R²

37) π/2

38) 400π/3

39) 56πcm²

40) A = 9πa² e V = 3√3 .π.a³/4

Matemática - Esfera e partes - Parte 1 - 2

Geometria Espacial: Volume da esfera

Geometria Espacial - Pirâmides

Mini história da educação no Brasil

A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de

A) pirâmide

B) semiesfera

C) cilindro

D) tronco de cone

E) cone

Gabarito:E

Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas

AD¯¯¯¯¯,

BC¯¯¯¯¯,

AB¯¯¯¯¯ e

CD¯¯¯¯¯ nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são

A) todos iguais

B) todos diferentes

C) três iguais e um diferente

D) apenas dois iguais

E) iguais dois a dois

Gabarito:E

segunda-feira, 15 de outubro de 2012

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Matemática formas geométricas: http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/EVT...: http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/EVT/Formas_geometricas.htm

http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/EVT/Formas_geometricas.htm

Cilindro, cone e esfera

Definições, área e volume

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Cilindro

Cilindro: Objeto tridimensional composto pela sobreposição de infinitos círculos de mesmo diâmetro. É também definido como o objeto que resulta da rotação de um paralelogramo em torno de um dos seus lados. Ou ainda, o cilindro pode ser visto como um "prisma" de base circular.

1.1 Cilindro reto: O cilindro é reto quando os círculos se sobrepõem ao longo de uma direção perpendicular ao plano dos mesmos. Ou quando o paralelogramo que executa a rotação é um retângulo. Neste caso o eixo do cilindro é perpendicular à sua base.

Definições complementares
A_l → área lateral
A_b → área da base
h → altura do cilindro (distância entre as duas bases e perpendicular a elas)
r → raio da base

Onde:
A_l = 2πrh A_b = πr²

Área total:
A_T = A_l + 2 . A_b = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

Volume:
V = A_b . h = πr²h

1.2 Cilindro oblíquo: quando o eixo o cilindro não é perpendicular à sua base.

As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância entre as duas bases e perpendicular a elas ou ao plano que as contém.

2. Cone

Cone: Figura espacial que resulta da rotação de um triângulo em torno de um de seus lados. O cone pode ser considerado uma sobreposição de infinitos círculos com raios que decrescem até se reduzirem a um ponto. Pode ser visto também como uma "pirâmide" de base circular.

Cone reto: O cone é reto quando o triângulo que excuta a rotação é um triângulo retângulo girando em torno de um de seus catetos. O ponto fixo é chamado de vértice do cone, e sua distância até a base é a altura do cone.

Definições complementares

A_l → área lateral
A_b → área da base
h → altura do cone (distância entre a base, perpendicular a ela, e o vértice)
r → raio da base
s → geratriz do cone (segmento de reta que liga o vértice à circunferência da base)

Onde:

A_l = πrs
A_b = πr²

Área total:
A_T = A_l + A_b = πrs + πr² = πr (s + r)

Volume:

3. Tronco de cone

Tronco cone: É um objeto tridimensional que resulta do corte de um cone por um plano paralelo à base.
Quando o cone que sofre é o corte é um cone reto, temos um tronco de cone reto.

Definições complementares

A_l → área lateral
A_bm → área da base menor
A_bM → área da base maior
h → altura do tronco de cone (distância entre a base menor e a base maior e perpendicular a elas)
r → raio da base menor
R → raio da base maior
s → geratriz do cone (segmento de reta que liga o a circunferência da base menor à circunferência da base maior)

Onde:

A_bm = πr²
A_bM = πR²
A_l = πRs + πrs

Área total:
A_T = A_l + A_bM = πrs + πRs + πrs² = πr²

Volume:

4. Esfera

Esfera: É um objeto tridimensional que resulta da rotação de um círculo em torno de seu diâmetro.

r → raio da esfera

Área: A = 4πrs²

Volume:

4.1 Calota de esfera

Metaforicamente, a calota de uma esfera pode ser considerada como a "tampa de uma laranja".

r → raio da esfera
h → altura da calota

Área somente da calota:
A = 2πrh

Volume:

4.2. Fuso de uma esfera
Metaforicamente, o fuso de uma esfera pode ser considerado como o "gomo de uma laranja".

r → raio da esfera
α → ângulo do fuso em graus

Área da lateral externa:

Volume: