História dos números complexos, Conjuntos Numéricos e Fórmula de Euler

Números complexos, Argand-Gauss e Plano complexo

Números complexos - aprenda a resolver equações do segundo grau

Números Complexos - Exercícios 

Questões:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.



Resolução:

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

 09. 3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Números Complexos

Números Complexos

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano (Girolamo Cardano , matemático italiano, 1501-1576) e Bombelli (Rafael Bombelli , matemático italiano, 1526-1572) , entre outros, realizaram alguns progressos no estudo dos números complexos. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Opostamente ao senso comum divulgado amplamente nos livros do segundo grau, a construção da teoria dos números complexos não teve origem na análise das equações do segundo grau, mas, sim, na busca da solução da equação do terceiro grau. Dizer que os números complexos surgiram da análise das equações do segundo grau, é tão somente uma aproximação simplificada do conhecimento. Talvez, e muito provavelmente, os autores pretendiam com isto, facilitar o entendimento para os alunos do segundo grau; cumpre-nos entretanto informar a verdade, com base na realidade da história da Matemática.
Didaticamente, entretanto, seguiremos um caminho convencional de abordagem, sem grandes prejuízos. 

Unidade imaginária: 

Define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² . i = -i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i
i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1
i⁷ = i⁶ . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i.

NÚMERO COMPLEXO

Definição: 

Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exemplos: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3); w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) ; u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Exemplo: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) . 

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i

Nota : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados .
Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

Exercícios de Números Complexos (lista de reprodução)

Números Complexos - Direto ao assunto (lista de reprodução)

Aula 26 - N�meros complexos

Introdução aos números complexos:

Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por x=-7/2. assim, o conjunto solução será:

S = { 7/2 }

mas, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x²+1=0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

x = R[-1] =

onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.

Definição de número complexo

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z)  e  b = Im(z)

Exemplos de tais números são apresentados na tabela.

Número complexo	Parte real	Parte imaginária
2 + 3 i	2	3
2 - 3 i	2	-3
2	2	0
3 i	0	3
-3 i	0	-3
0	0	0

Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Elementos complexos especiais

1. Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
   
   z = w   se, e somente se,   a = c e b = d
   Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.
   
2. Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é:
   
   -z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i
   O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.
   
3. Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:
   
   z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i
   O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.
   

Operações básicas com números complexos

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:

a + b x
c + d x    X
_________________
ac + bcx
     adx + bdx²
______________________
ac + (bc+ad)x + bdx²

de forma que devemos substituir x² por -1.
Exemplos:

1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.
2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.

Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária

Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:

Potência	i2	i3	i4	i5	i6	i7	i8	i9
Valor	-1	-i	1	i	-1	-i	1	i

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i⁴⁰², i⁴⁰³³ e i¹⁹⁹⁸. Como exemplo: i⁴⁰²=i⁴⁰⁰.i² = 1.(-1) = -1
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.

O inverso de um número complexo

Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z^-1=u+iv, tal que

z . z^-1 = 1

O produto de z pelo seu inverso z^-1 deve ser igual a 1, isto é:

(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

a u - b v = 1
b u + a v = 0

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:

u = a/(a²+b²)
v = -b/(a²+b²)

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:

1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração
   
   
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
   
   
3. Lembrar que i² = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
   
   

Diferença e divisão de números complexos

Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.
Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w^-1, isto é: z/w=z.w^-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:

Representação geométrica de um número complexo

Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado do ponto de vista geométrico no plano cartesiano, como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.

Módulo e argumento de um número complexo

Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.
Desse modo, se z=a+bi é um número complexo, então r²=a²+b² e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:

Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:

cos(ø)=a/r,  sen(ø)/r,  tan(ø)=b/a

Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

Forma polar e sua multiplicação

Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)

e esta última é a forma polar do número complexo z.
Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos:

z = r (cos m + i sen m)
w = s (cos n + i sen n)

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.
Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma:

z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]

Este fato é garantido pelas relações:

cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)
sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)

Potência de um número complexo na forma polar

Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como

z = r [cos(m) + i sen(m)]

então

z^k = r^k [cos(km) + i sen(km)]

Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o argumento é /4 (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:

z¹⁶ = 2⁸[cos(720^o)+isen(720^o)]=256

Raiz quarta de um número complexo

Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, devemos obter as quatro raízes da equação algébrica x⁴+16=0.
Antes de apresentar o nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w, necessitamos saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever o número complexo na forma polar:

w = r (cos t + i sen t)

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.

z(1) = r^1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]

As outras raízes serão:

z(2) = i z(1)
z(3) = i z(2)
z(4) = i z(3)

Todas aparecem no gráfico, mas observamos que este processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou mais fácil pois temos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus.

Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX.

Raiz n-ésima de um número complexo

Existe uma importantíssima relação atribuída a Euler:

e^i.t = cos(t) + i sen(t)

que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos frequentemente:

exp(i t) = cos(t) + i sen(t)

Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática:

Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o número e^it por um número complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.
Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por exp(i/8)=cos(/8)+i sen(/8), obteremos um número complexo z(1) que forma com z um ângulo /8=22,5graus, no sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação xⁿ=w, onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a relação de Euler, para obter:

w = r e^it

Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo

z(1) = r^1/n e^it/n

Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

z(k) = z(k-1) e^2i/n

onde k varia de 2 até n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x⁸=-64, observamos a posição do número complexo w=-64+0i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus).

Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é /8, então z(1) pode ser escrita na forma polar:

z(1) = 2 e^i/8 = 2(cos 22,5^o+i sen 22,5^o) = R[2](1+i)

onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as outras raízes pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma das formas:

e^2i/8 = 2(cos 45^o + i sen 45^o) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)

Assim:

z(2) = z(1) R[2](1+i)/2
z(3) = z(2) R[2](1+i)/2
z(4) = z(3) R[2](1+i)/2
z(5) = z(4) R[2](1+i)/2
z(6) = z(5) R[2](1+i)/2
z(7) = z(6) R[2](1+i)/2
z(8) = z(7) R[2](1+i)/2

Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.

Número complexo como matriz

Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.